Tilbake  Annies Gjestekro  Matsider  Historie  Kultur  Vindkraft  Adresser/kart  Diverse  Sidekart 
Veikro - mat - overnatting - catering
Diverse  Arkiv  Gamle saker  GPS  Data-uttrykk  Ordliste  Interesting  Perspektiv  Visdomsord  Gml nav.instr. 
Spill  Gamle saker (1)  Gamle saker (2)  Gamle saker (3) 

Inneklemt
5x5=25 (kvadrat)
26 er det eneste tallet som er inneklemt mellom et kvadrat og en kubus!
3x3x3=27 (kubus)

Geometri
Fra gresk og betyr "måling av jordstykker (geo=jord, metri=måling)". Egypterne og babylonerne kjente til metoder for å finner arealet av trekanter, rektangler og trapeser for 4000 år siden.

Det gyldne snitt ( irrasjonelt tall)
( rot 5 + 1 )/2 =1,61803398874989484820458683436564...

Det gyldne snitt er en underlig forhold vi ofte finner i geometrien og naturen. Euklid (300 f.Kr.) omtaler dette forholdet i sine bøker. Sammenhengen kan brukes til å kombinere ulike fagområder som matematikk, arkitektur, billedkunst og biologi.
Det gylne snitt bygger på en harmonisk deling av et linjestykke. Snittet deler linjestykket slik at forholdet mellom den lengste og den korteste delen er like stort som forholdet mellom hele linjestykket og den lengste delen av det.
Matematisk kan dette uttrykkes slik: Linjestykket AC er delt i et punkt B slik at
Ergo: B deler linjestykket AC i det gyldne snitt
Annies Gjestekro
Dersom vi setter linjestykket (a+b) lik 1, blir den korteste delen b lik 1 - a. Settes dette (b=1-a) inn i likningen, får vi følgende annengradslikning: Løser vi denne likningen og ser bort den negativ løsning (det imaginære svaret), får vi: Det gir for det gyldne snitt: (a+b)/a = 1/a = ( 1 +rot 5)/2 = 1,618033...
Tar vi det inverse av dette tallet får vi: 0,618033... Merk at alle desimalene her er de samme.
Leonardo da Vinci (1452-1519) fant mange forhold på menneskekroppen som, ifølge ham selv, burde være lik det gyldne snitt for at det skulle være en perfekt kropp. Da Vinci hevdet at forholdet mellom høyden fra navlen og ned og høyden fra navlen og opp bør være lik det gyldne snitt. Det betyr at en person på 150 cm, skal ha en navlehøyde på ca 93 cm.

Annies GjestekroFemkantstjerna kalles gjerne pentagrammet. (Penta=fem, pentagon=femkant). Den avbildes gjerne inne i en sirkel, og gir oss en estetisk følelse av balanse og harmoni.
I en regulær femkant (der sidene er like lange) finnes også det gyldne snitt som forholdet mellom diagonalen og siden, og som 'a' over 'b' .
Det gyldne snitt finnes igjen i mange sammenhenger i arkitektur, kunst og billedkunst.

Et gyllent rektangel er et rektangel der forholdet mellom den lengste og korteste siden er tilnærmet lik 1,618. 

I utformingen av bygninger, gårdsanlegg og tun har det gylne snitt ofte vært et konstruksjonsprinsipp helt opp mot slutten av 1800-tallet. Da overtok andre prinsipper i arkitekturen, men fotografer og designere tenker fortsatt på det gyldne snitt når de skal komponere bildene sine. Tenk på TV-formatet 16x9 = 1.77 (nesten et gyllent rektangel).
Et fotografi blir adri pent hvis man lar f.eks. lar horisonten komme midt på bildet.

Andre vanlige forekommende irrasjonelle tall
Kvadratroten av 2, Pi, osv. De er uendelig mange... Faktisk er det disse tallene det er mest av.

Kvadratroten av 2
Diagonalen i et enhetskvadrat (der sidene er lik 1) er kvadratroten av 2.

(diagonalen) ² = 1 ² + 1 ²
(diagonalen) ² = 2
diagonalen = ± rot 2 (vi ser bort fra den negative verdien her)
rot 2 = 1,4142135623730950488016887242097...
Annies Gjestekro

En tryllekunstner med matematikkproblem
En tryllekunstner lager rekvisitter til et av sine triks. Han starter med en 20 cm lang metalltråd som han skal klippe i to.
Den ene biten bruker han til å forme et kvadrat, og den andre biten til å forme en perfekt sirkel.
Trikset han skal bruke dette til krever at summen av figurenes areal skal være minst mulig.
Hvor skal han klippe tråden og hvilken bit skal gå til hva??

Volumberegning med tverrsnittmetoden, kule
Volumet V(x) 'gjennombores' av x-aksen, slik at volumet strekker seg fra x=a til x=b. For hver x>a, lar vi V(x) være volumet av den delen av legemet som går fra a til x.
Da er V'(x) = A(x), der A(x) er arealet av tverrsnittet til volumet vinkelrett på aksen i punktet x.
Kort sagt: Vi finner A(x) og integrerer (antideriverer) for å finne V(x).
r=(R²-x²)^½
r²=R²-x²
A(x)=V'(x)=pi*r²=pi*(R²-x²)
V(x)=pi*R²*x-1/3(pi*x³)+C   (Volumet fra x=0 til x=R, dvs halve kula)
V(0) gir C(0)
V(R)=pi*R²*R-1/3(pi*R³)=2/3(pi*R³)   (Volumet fra x=0 til x=R, dvs halve kula)
Hele kula's volum blir da 2*V(R)= 4/3(pi*R³)
Overflatearealet av kula blir: V'(r)=A(r) = 4*pi*r²

Volumberegning med tverrsnittmetoden, kjegle
Volumet V(x) 'gjennombores' av x-aksen, slik at volumet strekker seg fra x=a til x=b. For hver x>a, lar vi V(x) være volumet av den delen av legemet som går fra a til x.
Da er V'(x) = A(x), der A(x) er arealet av tverrsnittet til volumet vinkelrett på aksen i punktet x.
Kort sagt: Vi finner A(x) og integrerer (antideriverer) for å finne V(x).
r=(R²-x²)^½
r/x=R/h derfor blir r=(R/h)*x
A(x)=V'(x)=pi*r²=pi*(((R/h)*x
V(x)=(pi*R²)/h²)*(1/3)*x³+C   (Volumet fra x=0 til x=h, dvs hele kjegla)
V(0) gir C(0)
V(h)=(pi*R²/h²)*(1/3)*h³=1/3(pi*R²)*h   (Volumet fra x=0 til x=h, dvs hele kjegla)
Kjegla's volum blir altså: pi*R²*h/3

Å tale ordenens språk...
Matematikk er språket for orden og regelmessighet. For å kunne oppleve skjønnhet i noe må en forstå utrykksformen. For en matematiker er skjønnhet lik enkelhet og eleganse. Ta for eksempel Eulers utrolige likning:
e^(i*pi) + 1 = 0

Denne likningen innholder de fem viktigste konstantene i matematikk og relaterer dem til hverandre på en utrolig enkel måte.
  e  Den naturlige basen for logaritmer dannet ved en enkel rekke e=1+1/2!+...
  e  Eller:Den naturlige basen for logaritmer e=(1+1/n)^n... når n --> uendelig. (e=2.71828...)
  i  Kvadratroten av -1. I gamle bøker ble det sagt at det var umulig å finne kvadratroten av et negativt tall.
De forsto ikke at i  er akkurat like virkelig som andre typer tall. i  blir kalt et imaginært tall.
I noen bøker skriver man j  i steden for i
  pi 3.1415926... Forholdet mellom en sirkels omkrets og dens diameter
  1  Grunnlaget for alle de `naturlige' tallene
  0  Først innført av den gamle Maya kulturen i Mellom-Amerika. Ingentingsbegrepet er essensiell for all matematikk.

Disse forskjellige konstantene oppstår på ulike vis i matematikk og det er langt fra opplagt at de har noe med hverandre å gjøre. Eulers relasjon er like enkel som den er overraskende. Dette er et eksempel på skjønnhet i matematikken.

Topp


Hvor mane kvadrater ser du her??

    
    
    
    

Svar: 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30


Hvor mange kvadrater ser du her??

     
     
     
     
     

Svar: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55



Hvor mane kubuser ser du her?? Innbill deg kuber bakover i tabellen..

    
    
    
    

Svar: 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100


Kan du denne? fra repetetiv desimal til brøk...:
x = .171817181718...

Topp